Авторизация



Рейтинг@Mail.ru

Информатика и ИКТ в современной школе

 

 

GISMETEO: Погода по г. Руза

Парадоксы теории множеств
(2 голоса, среднее 5.00 из 5)
Автор: Петухова О.А.   

 

ВВЕДЕНИЕ

Природа бесконечности всегда была предметом спора. Она интересовала ещё древних мыслителей, об этом свидетельствуют знаменитые парадоксы Зенона Элейского, который доказывал, что «движение мыслить невозможно, поскольку движущийся объект проходит бесконечное число точек в конечное время». Впоследствии проблемы, связанные с бесконечностью, стали рассматриваться в теории множеств, ставшей по существу фундаментом современной математики. Следует отметить, что в ходе своего развития идея бесконечности имела теологический оттенок, порой игравший определённую роль в решении вопроса о приемлемости математических и философских теорий, связанных с понятием бесконечности. Для чего математике последних десятилетий XIX века потребовалось общее учение о множествах, органически связанных с понятием актуальной бесконечности? Известный немецкий математик Георг Кантор ответил на этот вопрос так: “…для обоснования арифметики действительных чисел, для доказательства фундаментальных теорем математического анализа и теории тригонометрических рядов”. Кантор указывал также, что идеи и методы общего учения о множествах являются действенными орудиями отыскания новых математических фактов и развития новых математических теорий. Именно он придал математическое содержание идее актуальной бесконечности, заложил основы теории абстрактных множеств и внёс существенный вклад в основание анализа и в изучение континуума вещественных чисел. Самое замечательное достижение Кантора состояло в доказательстве того, что не все бесконечные множества количественно эквивалентны, т.е. имеют одинаковую мощность, а потому их можно сравнивать друг с другом. Теория трансфинитных множеств Кантора, пережив годы сомнений и нападок, в конце концов, выросла в грандиозную революционизирующую силу в математике двадцатого века и стала её краеугольным камнем.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 3 марта 1845 г. в России, в Санкт-Петербурге. Его мать, Мария Анна Бём, происходила из семьи талантливых музыкантов; отец Георг Вольдемар Кантор был удачливым коммерсантом и благочестивым лютеранином, передавшим сыну глубокие религиозные убеждения. Когда Кантор был ещё ребёнком, семья переехала из России в Германию, и именно там началось его обучение математике. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году будущий знаменитый учёный поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе. Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг переводится в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начинает посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Защитив в 1868 г. диссертацию по теории чисел, он получил степень доктора в Берлинском университете. Два года спустя он занял должность приват-доцента в Университете в Галле. Один из его коллег, Генрих Эдуард Гейне, работал в то время над теорией тригонометрических рядов и побудил Кантора заняться сложной проблемой единственности таких рядов. В 1872 г. в возрасте 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую весьма общее решение этой проблемы, в которой он использовал идеи, выросшие впоследствии в теорию бесконечных множеств.

Кантор ввёл понятие взаимно однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора о мощности всех подмножеств данного множества, фактически, утверждает существование «бесконечности бесконечностей». Он определил понятия кардинальных и порядковых чисел и их арифметику. Его работы, помимо математического, представляли также большой философский интерес. Для дальнейшей беседы введем некоторые понятия и обозначения, связанные с множествами и операциями над ними.

 

НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

 

·        Множество – совокупность (коллекция) объектов, определенная некоторым правилом. Множества состоят из элементов.

·        Множества А и В равны, если они содержат одни и те же элементы.

 

·        Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответсвие. Для конечных множеств это означает, что в них одинаковое число элементов, но данное определение имеет смысл и для бесконечных множеств.

 

·        Множество называется счетным, если оно равномощно множеству Nнатуральных чисел (будем считать, что множество натуральных чисел начинается с нуля). Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным.

 

Для развития общего учения о множествах наиболее существенным явилось другое открытие Г. Кантора — доказательство существования бесконечных множеств с различными мощностями.

·        Если множество конечно, понятие мощности совпадает с понятием числа его элементов и может быть выражено натуральным количественным числом. В случаях бесконечных множеств нельзя говорить о числе их элементов, но каждому из таких множеств можно приписать определенную мощность.

·        Теорема Кантора-Бернштейна: Если множество А равномощно некоторому подмножеству множества В, а множество В равномощно некоторому подмножеству множества А, то множества А и В равномощны.

Таким образом, на основании этой теоремы для  данных множеств А и В имеются теоретически четыре возможности.

Рассмотрим теперь очень важную теорему, появившуюся в общей формулировке в работе Кантора 1890\91 года.

Теорема Кантора: Никакое множество Х не равномощно множеству всех своих подмножеств.

Доказательство данной теоремы не представляет особого труда, но это утверждение подводит нас к опасной границе, когда наглядные представления о множествах приводят к  противоречиям, порождая так называемые парадоксы.

 

 

ПАРАДОКСЫ  (антиномии) ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

 

Наряду с трудностями построения теории множеств  в  ней были обнаружены парадоксы, поставившие  под  сомнение  учение  Г. Кантора в целом. Эти парадоксы стали объектом особого внимания  математиков. И, конечно, не случайно. Ещё  при  жизни  Кантора  его теория множеств стала фундаментом всего здания математики,  а  её  методы  — действенным орудием развития многих ведущих математических теорий.
В 1899 году Кантор  открыл  парадокс  и  сообщил  о  нем  Р.Дедекинду.  В 1901 году этот парадокс привлек внимание Б. Рассела.
                              Парадокс Кантора
Данный парадокс возник при попытке определить мощность множества как класс (множество) всех равномощных ему множеств.
Пусть  U—  множество  всех  возможных  множеств,  P(U)  —множество  всех возможных  подмножеств  множества  U.  Поскольку  мощность  множества   всех возможных подмножеств любого  множества  имеет  мощность,  большую  мощности этого множества, то мощность P(U) должна  быть  больше  мощности  U.  С  другой стороны, множество Uесть множество всех возможных  множеств;  следовательно, P(U) является подмножеством U. Но  мощность  подмножества  не  больше  мощности множества; значит мощность P(U) не больше мощности U.
Этот парадокс открыл и Э. Цермело,  но в печати его не опубликовал. Этот парадокс, свидетельствующий о необходимости учета иерархических различий, заключается в том, что универсальное, всеобъемлющее "множество всех множеств" никакой мощностью обладать не может. 
Как возникает этот парадокс? 
Кантор исходил из того, что каждое множество А должно обладать некоторой "мощностью". Под "мощностью" он понимал количественную характеристику множества. Мощность множества А Кантор обозначил через 

 

, отмечая двумя черточками, что она получается в результате двойной абстракции: абстракции от природы элементов и абстракции от их порядка. Множество всех подмножеств данного множества А (называемое также булеаном множества А) обозначено через Р(А). Кантор доказал, что

 

. 
 
Рассмотрим теперь множество всех множеств, назовем его "универсумом" и обозначим через U. Из приведенной выше теоремы при А=U получим, что

 

. С другой стороны, поскольку U — это множество всех множеств, то оно должно обладать максимальной мощностью, и, значит,

 

. Получилось противоречие. 
В кажущейся неразрешимости этого противоречия и заключается парадокс Кантора. На самом деле этот парадокс все же разрешим. Дело в том, что мы неявным образом предположили, что универсум U является таким же множеством, как и все остальные множества, и поэтому тоже обладает некоторой мощностью. 
Противоречие же показывает, что оно никакой мощностью обладать не может. Значит, универсум U множеством не является. U — это объект, который относится к другому иерархическому уровню.
Выше было показано, что игнорирование иерархических различий приводит к противоречиям и парадоксам. Проводимые при этом рассуждения имеют иногда вид странных петель: исходя из некоторого утверждения, относящегося к определенному иерархическому уровню, мы по ходу рассуждения попадаем на другой иерархический уровень и уже на этом новом уровне каким-то странным образом приходим к первоначальному утверждению. 
Петля рассуждения замыкается невозможным образом: на новом уровне мы обнаруживаем то утверждение, которое на самом деле относится к первоначальному иерархическому уровню. Примером такой петли служит следующий парадокс, открытый Б. Расселом  в  1902 году и опубликованный им в 1903 году.

 

 

Парадокс Рассела (1903)

 


О некоторых множествах можно сказать, что они содержат себя в  качестве своего элемента; таково, например, множество всех множеств. Распределим  все возможные множества на два класса. К первым отнесем  те  множества,  которые не содержат  себя  в  качестве  своих  элементов.  Ко  второму  отнесем  все остальные,  т.  е.  которые  содержат  себя  в  качестве  своих   элементов.
Рассмотрим первый  класс  множеств.  Этот  класс  множеств в свою  очередь является некоторым множеством N, а  потому  принадлежит  к  первому  или  ко второму классу.  Допустим, что множество N принадлежит к первому классу. Первый класс  —
это класс множеств, каждое из которых не содержит себя в качестве  элемента.
Но если N принадлежит  к  первому  классу,  то  так  как  множество  N  есть множество всех множеств первого  класса,  оно  должно  содержать  и  себя  в качестве элемента. Итак, если  множество  N  не  содержит  себя  в  качестве элемента, то оно содержит себя в  качестве  элемента,  следовательно,  нельзя предполагать, что множество N принадлежит к первому классу.
Предположим теперь, что множество N принадлежит ко второму  классу,  т.е. содержит себя в качестве элемента. Но  элементами  множества  N  являются только множества, не содержащие себя  в  качестве  элемента.  Следовательно, если N содержит себя в качестве элемента, то N не содержит себя  в  качестве элемента.  Мы  опять  пришли  к  противоречию  и  вынуждены  признать,   что множество N не может ни принадлежать, ни не принадлежать к первому классу.
   Данный парадокс имеет и другие, формализованные формулировки, например:
«Мэры всех городов должны жить в городе мэров! Где же должен жить мэр города мэров?»
Или:
«Одному деревенскому парикмахеру приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто бреется сам». Как он должен поступить с собой?»
Получается странная, невозможная петля: если парикмахер бреется сам, то он не должен брить себя, а если он не бреет себя, то он, напротив, должен бриться сам. Если же он бреется сам, то повторяется предыдущее рассуждение. Получается странная, бесконечная заколдованная петля, из которой нет выхода. Объяснение же парадокса состоит в том, что при формулировке правила, которым должен руководствоваться парикмахер, не были учтены иерархические различия. Правило должно относится ко всем жителям поселка, кроме парикмахера, так как парикмахер в данном случае относится к другой иерархической категории. Если же не учитывать иерархических различий и не уточнять правило, которым должен руководствоваться парикмахер, то парадокс говорит только о том, что такого парикмахера быть не может.
Вернемся теперь непосредственно к теории множеств. Дадим себе отчет в том, что «плохого» было в рассуждениях, приведших нас к парадоксу Рассела. Вопрос этот далеко не простой, его обсуждение активно шло всю первую половину двадцатого века. Итоги этого обсуждения приблизительно можно сформулировать следующим образом:
Ø     Понятие множества не является непосредственно очевидным; разные люди и научные традиции могут понимать его по-разному;
Ø     Множества - слишком абстрактные объекты для того, чтобы вопрос «а что на самом деле?» имел смысл;
Ø     Если мы хотим рассуждать о множествах, не впадая в противоречия, необходимо проявлять осторожность и избегать определенных видов суждений. То есть нельзя просто так рассмотреть множество всех множеств или множество всех множеств, не являющихся своими элементами, поскольку класс всех претендентов в данном случае «необозрим». Множества нужно строить постепенно.
 
 

 

 

 
ПАРАДОКСЫ И РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ
 
Открытия Кантора, относящиеся примерно к 1873 году и постепенно оформившиеся в самостоятельную ветвь математики, вначале натолкнулись на недоверие, и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов. Только в начале девяностых годов теория множеств вошла в моду и стала, сверх всяких ожиданий, широко применяться в анализе и геометрии. Но в тот самый момент, когда смелое видение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации, когда его результаты приняли окончательный систематизированный вид, он столкнулся с первым из таких парадоксов. Это произошло в 1895 году. Кантор не был способен в то время предложить разрешение этого парадокса, ситуация не казалась слишком серьезной: этот первый парадокс возникал в довольно специальной области теории вполне упорядоченных множеств, и, вероятно, была надежда, что легкий пересмотр доказательств теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение, как это не раз бывало раньше при аналогичных обстоятельствах. 
Сам Кантор ни на минуту не терял веры в свою теорию в ее полном "наивном" объеме, хотя и оказался не в состоянии ответить на вызов, брошенный ему парадоксом Рассела. 
Этому оптимизму был, однако, нанесен решительный удар. Бертран Рассел поразил философов и математиков, указав на парадокс, относящийся к самым началам теории множеств и показывавший, что в основаниях этой дисциплины что-то неблагополучно. Но парадокс Рассела потряс основы не только теории множеств: в опасности оказалась и сама логика. Требовалось лишь легкое изменение в формулировке, чтобы перевести парадокс Рассела в противоречие, которое можно было бы сформулировать в терминах самых основных логических понятий. Никогда ранее парадоксы не возникали на таком элементарном уровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия двух самых "точных" наук — логики и математики.
В результате этого Георг Кантор всё чаще впадал в депрессию, десятилетиями он вел упорную борьбу почти со всеми современниками-философами и математиками, отрицавшими законность построения математики на фундаменте актуально-бесконечного. Некоторые приняли это как вызов, поскольку Кантор предполагал существование множеств или последовательностей чисел, имеющих бесконечно много элементов. Знаменитый математик Пуанкаре назвал теорию трансфинитных чисел "болезнью", от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Л. Кронекер - учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии - даже нападал на Кантора, называя его "шарлатаном", "ренегатом" и "растлителем молодежи"! Только к 1890 г., когда были получены приложения теории множеств к анализу и геометрии, теория Кантора получила признание в качестве самостоятельного раздела математики.
Кантор тяжело переживал противоречия своей теории и сложности с ее принятием. С 1884 г. он страдал глубокой депрессией и через несколько лет отошел от научной деятельности. Умер Кантор от сердечной недостаточности в психиатрической лечебнице в Галле.
 
Кантор доказал существование иерархии бесконечностей, каждая из которых "больше" предшествующей. Его теория трансфинитных множеств, пережив годы сомнений и нападок, в конце концов, выросла в грандиозную революционизирующую силу в математике 20 в. и стала ее краеугольным камнем.

 

 

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.     Б.Больцано. « Парадоксы бесконечного». Одесса, 1911;

2.     Г.Кантор. «Труды по теории множеств /серия "Классики науки"». М., Наука, 1985;

3.     Н.К. Верещагин, А. Шень. «Начала теории множеств». М.,МЦНМО, 1999;

4.     Т.Ю. Андреева, М.Н.  Саушкин "Логические парадоксы". М., 2003.

 
 

Опросы

Ваши любимые предметы