Основные сведения о гимназии

Финансово-хозяйственная деятельность

Платные образовательные услуги

Стипендии и иные выплаты

Авторизация



Рейтинг@Mail.ru

Информатика и ИКТ в современной школе

 

 

GISMETEO: Погода по г. Руза

Квадратные уравнения с параметрами и методы их решения
(13 голоса, среднее 3.31 из 5)
Автор: Петухова О.А.   

 

Квадратные уравнения с параметрами и методы их решения

О.А. Петухова, учитель математики МБОУ «Гимназия №1 г Рузы»

 

 

 

 

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………….3

Квадратный трехчлен с параметрами……………………………………..8

2.1) Группа задач 1. Нахождение решений уравнения (количества решений уравнения) в зависимости от параметра

2.2)Группа задач 2.  Расположение корней  квадратного уравнения относительно числа. Расположение корней относительно отрезка.

2.3)Группа задач 3. Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов.

2.4)Группа задач 4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена

Способ организации работы на факультативных занятиях по теме «Квадратный трехчлен с параметрами и его приложения».

Урок одной задачи……………………………………………………………27

 

 

Введение

Основным предметом рассмотрения этой работы стала методическая  разработка учебных исследовательских проектов в обучении математике.

Рассмотрим подробнее понятие учебно-исследовательской деятельности. Учебно-исследовательская деятельность — это организуемая педагогом с использованием преимущественно дидактических средств косвенного и перспективного управления деятельности учащихся, направленная на поиск объяснений и доказательства закономерных связей и отношений, экспериментов, наблюдаемых или теоретически анализируемых фактов, явлений, процессов, в которой доминирует самостоятельное применение приемов научных методов познания, и в результате которой учащиеся активно овладевают знаниями, развивают свои исследовательские способности и умения (В.И. Андреев).

         Начало учебно-исследовательской деятельности осуществляется благодаря наличию проблемной ситуации, мотивом учебного исследования служит интерес, внутреннее противоречие, вызывающее потребность и стремление учащихся к исследовательской неопределенности, которая содержит знания, неизвестными учащимся.

         Особенности учебно-исследовательской деятельности состоят в присутствии фактора субъективного открытия нового знания, но любое новое знание не возникает из ничего, имеет связь с прежними знаниями, с предыдущим опытом учащихся.

Сущностные признаки учебно-исследовательской деятельности

1.                 Преднамеренность.

2.                 Использование учителем преимущественно средств косвенного и перспективного управления.

3.                 Наличие проблемной ситуации.

4.                 Направленность на поиск способов решения или доказательства.

5.                 Доминирование самостоятельного применения приемов научного метода познания (анализ, сравнение и т.д.).

6.                 Субъективная новизна продукта деятельности.

7.                 Активное овладение учащимися знаниями, развитие своих исследовательских умений и способностей.

Учебно-исследовательскую деятельность целесообразно организовывать при:

1.                 при выявлении существенных свойств понятий или отношений между ними;

2.                 при установлении связей данного понятия с другими понятиями;

3.                 при ознакомлении с фактом, отраженным в формулировке или доказательстве теоремы;

4.                 при обобщении теоремы или задач, при составлении обратной теоремы или задачи и проверке ее истинности;

5.                 при выделении частных случаев некоторого факта в математике;

6.                 при классификации математических объектов, отношений между ними, основных фактов данного раздела математики;

7.                 при решении задач различными способами;

8.                 при составлении новых задач, вытекающих из решения данных;

9.                 при построении контрпримеров;

10.                 при обобщении различных вопросов.

Основные дидактические функции учебно-исследовательской деятельности

1.                      Функция открытия субъективно новых знаний, то есть установление существенных свойств, понятий, выявление математических закономерностей, отыскание доказательства математических утверждений.

2.                 Функция углубления изучаемых знаний, то есть получение определений, эквивалентных исходным (обобщение изучаемых терем, нахождение новых способов решения известной задачи).

3.                      Функция систематизации изученных знаний, то есть установление отношений между понятиями, выявление связей между теоремами, структурирование учебного материала.

4.                      Функция развития учащегося, формирование у него самостоятельности к самоуправлению: способен ли ученик к самоуправлению, к самооценке, к самовоспитанию.

5.                      Функция обучения к способам деятельности.

6.                      Функция развития креативности личности, то есть способность переключаться с одной идеи на другую, способность продуцировать идеи, отличающиеся от известных, принятых; любознательность; логическая независимость реакции от стимулов.

Как приобщить учащихся к исследовательской деятельности?

           Все зависит от мастерства педагога и от специально подобранных исследовательских задач. Под исследовательской задачей понимают объект мыслительной деятельности в котором в динамическом единстве представлены следующие составляющие элементы: предмет, условие и требование получения некоторого познавательного результата, при раскрытии отношений между известными и неизвестными элементами задач.

 

Степени проблемности исследовательской задачи:

1.                 О том, что способ решения задачи ученику известен, т.к. такие задачи решались и алгоритм решения известен.

2.                      Способ решения необходимо вывести из известных способов посредством комбинирования.

3.                      Способ ее решения неизвестен, писк решения творческий процесс, но продуктивная деятельность обладает субъективной новизной.

4.          Способ решения неизвестен в пределах области научных знаний, деятельность приобретет истинно исследовательский характер и продуктивная деятельность обладает объективной новизной (в школе не рассматривается).

           К учебно-исследовательским задачам относят те задачи, которые представляют собой систему логически связанных учебных проблем, которые позволяют в совокупности с эвристическими вопросами, указаниями и минимумом учебной информации открыть новые знания об объекте исследования, о способе, приеме или средстве исследовательской деятельности.

           Для успешного выполнения исследовательских заданий учащиеся должны овладеть определенными исследовательскими умениями, то есть сознательно выполняют интеллектуальные операции.

           Интеллектуальные операции — способы осуществления действий по реализации исследовательской деятельности.

 

Учебно-исследовательские умения:

1)                     умение подобрать для изучаемой ситуации математическую модель из известных или предложить новую;

2)                     умение проводить наблюдения математических объектов и гравировать результаты наблюдений;

3)                     умение проводить математический эксперимент (вычисления, построения, измерения);

4)                     умение интерпретировать полученный математический результат;

5)                     умение выдвинуть гипотезу, либо на основании анализа данных, либо по аналогии с известным решением, либо в результате рассмотрения частных случаев, либо пользуясь правдоподобными рассуждениями;

6)                     умение подобрать контрпример либо для опровержения неверного общего утверждения, либо для подтверждения доказательства частного утверждения;

7)                     умение различать правдоподобные рассуждения от доказанных;

8)                     умение проводить доказательство общих утверждений, записывать закономерности в буквенном виде, алгебраические преобразования, методом «от противного», метод исчерпывающих проб;

9)                     умение построить алгоритм решения зада некоторого класса, при этом обобщить частные случаи или получить некоторый теоретический результат, умение применять алгоритм для решения новой конкретной задачи;

10)                 умение применить полученные знания и способы действий в новых условиях, то есть определять область применения полученных знаний;

11)                 умение обобщать полученные знания и способы действия;

12)                 умение осуществлять самоконтроль в ходе работы и корректировать ее.

Учебно-исследовательская деятельность должна удовлетворять следующим требованиям:

1.                      Постановка вопроса в задаче должна предполагать проведение исследования.

2.                      Условие задачи должно предполагать использование различных способов и методов решения.

3.                      В условии задачи должны отсутствовать прямые указания на использование известных факторов.

4.                      Задачи должны способствовать формированию мотивационных, деятельностных, личностных компетенций учащегося.

Типы исследуемых задач:

1)                     на выявление существенных свойств понятий и отношений между ними;

2)                     на установление связей данного понятия с другими понятиями;

3)                     задачи на обобщение;

4)                     на составление обратных задач;

5)                     на выделение частных случаев известных математических фактов;

6)                     на классификацию математических объектов и отношений между ними;

7)                     задачи, решаемые различными способами;

8)                     построение контрпримеров;

9)       на составление новых задач.

 

Удачным примером, побуждающим учащихся к учебно-исследовательской деятельности может послужить изучение задач с параметрами. Такие задачи, как правило, не входят в основную программу школьного курса, однако успешно используются педагогами на факультативах, кружках по математике. Задачи с параметрами имеют широкий спектр рассмотрения различных тем школьного курса, начиная от линейных уравнений и неравенств, заканчивая текстовыми задачами.

 Мы рассмотрим задачи, касающиеся свойств квадратного трехчлена и его приложений с параметрами.

Квадратный трехчлен с параметрами

Рассмотрим квадратное уравнение вида , где A, B, C- некоторые числа или выражения, зависящие от параметра. Решить квадратное уравнение в зависимости от параметра - значит найти количество решений и их вид при каждом допустимом значении параметра (будем рассматривать действительные решения). Задачи с параметрами удобно разбить на несколько групп, согласно требованиям условия. Рассмотрим такие группы и приведем примеры решения соответствующих задач.

Группа задач 1. Нахождение решений уравнения (количества решений уравнения) в зависимости от параметра

Часто требуется найти все значения параметра, при которых уравнение имеет определенное количество корней, удовлетворяющих заданным ограничениям.

Обычно область изменения параметра, если не введены ограничения на корни, является множество действительных чисел. Ограничения сужают область изменения параметра. Очевидно, что выписывать уравнения для каждого значения параметра громоздко, да и просто невозможно, поэтому целесообразно разбить множество значений параметра  на подмножества, и затем решать уравнение на каждом из них. Для разбиения выбираются те значения параметра,  при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения, а именно:

1)     обращение в ноль старшего коэффициента трехчлена, когда квадратное уравнение вырождается в линейное;

2)     перемена знака (обращение в ноль) дискриминанта, когда изменяется число действительных корней уравнения;

3)     знакопостоянство (противоположность знаков) корней квадратного уравнения;

4)     взаимное расположение корней квадратного уравнения.

Значения параметра, при которых происходят эти изменения, называют граничными.

Прежде чем рассматривать примеры, обратим внимание на условия знакопостоянства (противоположности знаков) корней квадратного трехчлена.

Теорема 1 (о положительности корней).

Корни  квадратного трехчлена  действительны и положительны тогда и только тогда, когда выполняются условия:

 

Теорема 2 (об отрицательности корней).

Корни квадратного уравнения  действительны и отрицательны тогда и только тогда, когда выполняются условия:

Теорема 3(о корнях разного знака).

Корни  квадратного трехчлена  действительны и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда выполняются условия:

Рассмотрим так же теорему Виета:

Сумма корней неприведенного квадратного уравнения  равна –B/A, а их произведение равно C/A.

Помимо аналитического метода бывает удобно решать задачи такого рода графически. Зачастую этот метод упрощает исследование и является наиболее наглядным.

Рассмотрим примеры задач такого рода:

№ 1.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два различных корня больших или равных 2?

Решение: В данной постановке мы не сможем напрямую воспользоваться теоремой Виета и теоремами о знаках корней, т. к. корни сравниваются с числом 2, а не с нулем. Сделаем замену переменных:  В новых переменных уравнение имеет вид:  Найдем значение параметра a, при которых данное уравнение будет иметь два различных неотрицательных корня  Воспользуемся теоремой о положительных корнях уравнения. Вычислим значение дискриминанта и отношение коэффициентов при переменных:

Первый случай: Пусть один из корней равен нулю, а другой положительный, тогда их сумма положительна, а произведение равно нулю:

Æ.

Второй случай: Если оба корня уравнения положительны, то их сумма и произведение также положительны:

.

Объединяя оба случая, получим, что уравнение имеет два различных корня больше или равных 2 при значениях параметра a>1.

Ответ:a>1.

№ 2.                                                                                                      

Найти все значения параметра а,  при которых уравнение

имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравенству    .

Решение:  на координатной плоскости  множество всех точек , координата и параметр каждой из которых удовлетворяют заданному уравнению, представляет собой график функции  , то есть параболу. Эта парабола пересекает ось  в точках  и . Вершиной параболы является точка . Неравенству  удовлетворяют все точки полуплоскости (на рисунке она заштрихована) без границы .

Значения параметра , при которых  все точки параболы находятся в данной полуплоскости, являются искомыми.

     

 

Таким образом, решением нашего уравнения является каждое значение .                       Ответ:

№ 3.  При каждом значении параметра  решить уравнение . Решение:

Для начала необходимо раскрыть знак модуля, при этом наше уравнение сводится к равносильной совокупности смешанных систем:

Изображая на координатной плоскости  множество точек , значения координаты и параметра которых удовлетворяют этой совокупности систем, сформулируем ответ на поставленную задачу.

Ответ: если, топустому множеству;

если , то ;

если , то

если , то

если б то

 

№ 4. При каких значениях  уравнение

имеет ровно два различных решения?

Решение:

На координатной плоскости множество, задаваемое уравнением  равносильным совокупности смешанных систем

состоит из симметричных относительно прямой  частей двух парабол, с вершинами, соответствующими значению параметра , и общей точкой .

Ответ: .

 

 

№ 5. Найти все значения параметра , при которых оба корня уравнения

действительны и больше .

Решение: изобразим  на координатной плоскости прямую  и параболу .

 Они пересекаются в двух точкахи

Графики зависимости от параметра первого корня

Представляет собой верхнюю ветвь параболы, расположенную выше оси  , и, следовательно,    при .

График зависимости от параметра второго корня   представляет собой нижнюю ветвь данной параболы и, следовательно,   при     Таким образом, оба корня больше    при

 

Ответ:

 

 

№ 6.  При каком значении  сумма квадратов корней уравнения

 будет наименьшей?

Решение:

Найдем дискриминант  уравнения:

.

Значит, уравнение при любом  будет иметь корни. Согласно теореме, обратной к теореме Виета, 

Найдем сумму квадратов корней нашего уравнения:

Очевидно, что сумма квадратов корней исходного уравнения минимальна при

Ответ:

 

№ 7. Найти все пары значений параметров а ив,при которых уравнения

и

равносильны.

Решение:

Напомним, что два квадратных уравнения вида

и

 равносильны в двух случаях:

а) когда дискриминанты данных уравнений отрицательны, т.е. когда  уравнения не имеют решений;

б) когда коэффициенты, стоящие при х, и свободные члены равны.

В первом случае для уравнения   дискриминант меньше нуля при  Для уравнения  дискриминант меньше нуля, если

Таким образом, в данном случае искомой парой является любая пара значений параметров  а и в  с полученных интервалов.

Во втором случае приходим к системе

Эта система имеет два решения:

а) ;

б)

Ответ:  где

 

 

 Группа задач 2.  Расположение корней  квадратного уравнения относительно числа. Расположение корней относительно отрезка

Для решения таких задач полезны графические методы. Рассмотрим основные утверждения, на которых основывается решение подобных задач:

1)     знак дискриминанта указывает на число точек пересечения параболы с осью абсцисс;

2)     знак старшего коэффициента определяет направление ветвей параболы;

3)     в некоторой фиксированной точке k знак трехчлена f(k) показывает как, выше или ниже оси абсцисс, проходит парабола в этой точке;

4)     неравенство x>k (x<k) определяет расположение вершины параболы относительно исследуемой точки.

Рассмотрим несколько теорем, которые помогут нам в решении задач такого класса.

Теорема 1.

Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена  были действительны и больше некоторого фиксированного числа k, необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

Теорема 2.

Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена  были действительны и меньше некоторого фиксированного числа k, необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

Теорема 3.

Для того, чтобы заданное число было заключено между корнями квадратного трехчлена , необходимо и достаточно выполнение неравенства: .

Следствие 1: для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена    принадлежали  заданному промежутку(a, b), необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

Следствие 2: для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена  принадлежал заданному промежутку(a, b), а больший лежал вне его  необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

Следствие 3: для того, чтобы только больший корень квадратного трехчлена  принадлежал заданному промежутку(a, b), а меньший лежал вне его  необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

Следствие 4: Для того, чтобы только один из корней квадратного трехчлена  принадлежал заданному промежутку (a, b), а другой лежал вне отрезка [a,b], необходимо и достаточно выполнение следующего условия.

Следствие 5: чтобы оба корня квадратного трехчлена    лежали по разные стороны концов отрезка [a,b], необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

Рассмотрим примеры:

№ 1. Найти все значения параметра, при которых корни квадратного уравнения

неположительные.

Решение:

Переформулируем задачу в терминах расположения корней квадратного трехчлена относительно некоторого числа. Итак, требуется найти все значения параметра, при которых корни квадратного уравнения меньше или равны 0. В условии четко говорится, что уравнение является квадратным, а потому не нужно рассматривать случай вырождения  исходного уравнения в линейное. Рассмотрим графическую интепретацию поставленной задачи. Пунктиром покажем предельное положение параболы в случае совпадения корней.

1.     Пусть a>0. Для того чтобы исходное уравнение имело корни, расположенные левее начала координат, необходимо и достаточно выполнения системы:

 Решая полученную систему методом интервалов,

 получаем, что а>0.

2.Пусть а<0. Расположение параболы определяется следующей системой:

 

 

Æ

Ответ: а>0.

 

№ 2. Найти все значения параметра, при которых корни уравнения  подчиняются условию .

Решение:

Представим графическую интерпретацию расположения корней данного квадратного трёхчлена.

 Т. к. А=2, то ветви параболы всегда направлены вверх. Значение функции в точке  х=а являются отрицательными. Для того чтобы корни уравнения располагались по разные стороны от точки х=а, необходимо и достаточно выполнения следующего неравенства:

Следовательно, решением этого неравенства будет служить промежуток

Ответ:

 

 

№ 3. Найти все значения параметра, при которых уравнение  имеет  корни разных знаков.

Решение: Переформулируем задачу в терминах расположения корней трехчлена относительно некоторого фиксированного числа. При каких а  корни данного уравнения расположены по разные стороны от начала координат?

Заметим, что ветви всех парабол данного семейства всегда направлены вверх, т.к.  А=2. Для того, чтобы точка х=0 лежала между корнями квадратного уравнения  необходимо и достаточно, чтобы
Ответ:

 

№ 4. Найти все значения параметра, при которых уравнение  имеет корни одного знака.

Решение: Определим граничные значения параметра. Так как по условию анализируются знаки обоих корней, то исключается случай вырождения квадратного уравнения в линейное, а потому

Рассмотрим два случая:

  1. Оба корня положительные.

 Пунктиром показано положение параболы отвечающее отрицательному старшему коэффициенту. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше нуля, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система:

 

 

                            \

 

 

 

Данная система решается методом интервалов:

Как видим, система не имеет решений.

  1. Оба корни отрицательные.

Пунктиром показано положение параболы, отвечающее отрицательному старшему коэффициенту. Для того, чтобы оба корня были меньше нуля необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система:

                             

Решая систему методом интервалов, получаем, что при  и  корни отрицательны.

Ответ:

 

№ 5. Найти все значения параметра при которых уравнение  имеет один корень на интервале (0;2), а другой на интервале (3;5).

Решение:

Представим графическую интерпретацию задачи.  На рисунке схематически изображен график заданного квадратного трехчлена, который один раз пересекает ось абсцисс на интервале (0;2) (первый корень) и один раз на интервале (3;5) (второй корень).

 

 

Таким образом, на концах указанных интервалов функция принимает разные по знаку значения.  Т.е. :

                                                                    

Решая эту систему методом интервалов, получаем:

1<a<3

Ответ:

 

Группа 3. Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов

 

Вопрос о взаимном  расположении корней двух квадратных трехчленов требует кропотливого сравнения их друг с другом при различных значениях параметра. Мы будем рассматривать случай, когда корни квадратных трехчленов не совпадают. Приведем необходимые для исследования теоремы:

 

Теорема 1.

Для чередования корней приведенных квадратных трехчленов y=f(x,a) и y=g(x,a) необходимо и достаточно выполнение системы

Теорема 2.

Если приведенные квадратные трехчлены y=f(x,a) и y=g(x,a)имеют различные действительные корни, то для последовательного расположения пар их корней необходимо и достаточно выполнение условий:

Теорема 3.

Если имеются различные действительные корни у приведенных квадратных трехчленов y=f(x,a) и y=g(x,a), то, чтобы оба корня трехчлена y=g(x,a) располагались между корнями трехчлена y=f(x,a) необходимо и достаточно выполнение условий:

Рассмотрим примеры:

№ 1.

Найти все значения параметра, при которых различные корни уравнения  располагаются между корнями уравнения .

Решение:

Сформулируем задачу на алгебраическом языке: при каких а корни квадратного трехчлена f(x,а)= располагаются между корнями квадратного трехчлена g(x,a)= .

Найдем абсциссу точки  пересечения трехчленов.

 

 Учитывая, что ветви парабол  и  всегда направлены вверх, а абсциссы их вершин фиксированы и равны –2 и –3/2 соответственно, переформулируем задачу на геометрическом языке. При каких а точка пересечения парабол расположена выше оси абсцисс и правее обеих вершин. Определим условия необходимые для реализации указанного расположения пар корней. Выражения для дискриминантов функций положительные, общее значение трехчленов в точке их пересечения положительно, выражение для произведения  положительно. Последнее условие утверждает, что точка пересечения парабол расположена правее обеих вершин. Отсюда получаем систему:

 

Решая эту систему методом интервалов, получаем, что 0<a<3/8.

Ответ: 0<a<3/8.

 

№ 2. Найти все значения параметра, при которых корни уравнения  и  располагаются последовательно.

Решение:

Переформулируем задачу:при каких а между корнями квадратного трехчлена f(x,a)= нет ни одного корня квадратного трехчлена

 g(x,a)= и наоборот.

Задача имеет смысл только при наличии у трехчленов действительных и различных корней. Найдем абсциссу точки пересечения трехчленов и их общее значение.

Учитывая, что ветви парабол обоих семейств всегда направлены вверх, а их вершины фиксированы (-2 и –3/2 соответственно), переформулируем задачу геометрически.  При каких а точка пересечения парабол расположена выше оси абсцисс, а ее абсцисса ограничена значениями абсцисс вершин х=2 и

 х=-3/2.

 

Реализация указанного взаимного расположения пар корней определяется условиями:

 

Так как система не имеет решений, то не существует ни одного значения параметра, при которых корни исходных уравнений расположены последовательно.

 

 

Ответ: Æ

 

Группа задач 4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена

 

В этом пункте речь пойдет о задачах, в которых исследования основного задания так или иначе сводится к исследованию квадратного трехчлена. При решении таких задач пользуются как аналитическими, так и графическими методами исследования. Приведем примеры  таких задач:

№ 1. При каких значениях k  система уравнений

имеет единственное решение?

Решение:

Первое уравнение нашей системы определяет окружность с центром в точке (-2;0) и радиусом r=1.

После упрощения второго уравнения системы получаем уравнение которое определяет окружность с центром в точке (3;2) и радиусом R=k.

Система равносильна следующей:

 Эта система будет иметь единственное решение в двух случаях:

а) окружности касаются внешним образом,

б) окружности касаются внутренним образом.

Построим данные окружности.

 а) из рисунка  видно, что окружности 1 и 2 в точке Nкасаются внешним образом. В прямоугольном треугольнике  гипотенуза  равна сумме двух данных радиусов 1 и к; поэтому  откуда .

б) Из рисунка видно, что окружности 1 и 3 касаются внутренним образом. Радиус окружности 3 равен , откуда следует, что .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: .

 

№ 2. При каких значениях параметров а и bсистема

имеет бесконечное множество решений?

Решение:

На координатной плоскости (ХУ) множество точек (х; у), удовлетворяющих уравнениям системы, состоит из двух прямых.

Решением данной системы являются точки пересечения этих прямых. Поэтому данная система будет иметь бесконечное множество решений только в том случае, когда эти прямые совпадают.

В общем случае две прямые, заданные уравнениями   и  , совпадают, если  и . Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений, если совместна система:

 где а0, b0.

Решив эту систему, получаем  или

Ответ: (-2;-6);(6;2).           

 

№ 3. Решить уравнение

где а – положительный параметр.

Решение:

Перепишем заданное уравнение в виде

Решив полученное уравнение как квадратное относительно а, находим

Таким образом, решение исходного уравнения сводится к нахождению корней уравнений:

 

Корнями этих уравнений являются  и .

Ответ: , .

№ 4. Найти наименьший член последовательности

Решение:

На координатной плоскости (Х, А) точки рассматриваемой последовательности расположены на параболе

с вершиной .

Исследуя график, делаем вывод, что наименьшее значение последовательность принимает при натуральных значениях параметра а=n=4 и a=n=5. Т. е.

 

 

 

 

Ответ:

№ 5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение  9x - 3xa + 3 - a = 0  имеет хотя бы один действительный корень.

Для решения этого уравнения воспользуемся методом замены, обозначив 3x за y, помня, что оно обязательно должно быть положительным, так как основание степени, то есть 3, положительно.

y2 - ay + (3 - a) = 0

Чтобы данное уравнение имело корни, дискриминант должен быть неотрицательным.

D = a2 - 4 (3 - a) = a2 + 4a - 12
a2 + 4a -12 0
a1 = -6 a2 = 2

a (-; -6] [2; +)


         

 

Теперь посмотрим, когда корни не будут отрицательными:

Ответ: при а 

 

 [2; +

 

)уравнение имеет хотя бы одно решение

 

 

 

Способ организации работы на факультативных занятиях по теме «Квадратный трехчлен с параметрами и его приложения»

Решение квадратных уравнений, содержащих параметры – один из труднейших разделов школьной математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений, приходится думать об удачной классификации. Квадратные трехчлены с параметрами – это тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание им материала.

Данная тема распределяется на несколько занятий. Рассмотрим одно из них более подробно и составим  конспект. На мой взгляд, самым удачным методическим решением при рассмотрении такого урока является применеие урока одной задачи, т.к. именно этод тип урока способствует максимальной актуализации деятельности школьников, создает атмосферу проблемности и побуждает учащихся к  эвристической деятельности. На уроке одной задачи у ученика появляется возможность найти свой способ решения, то есть способ, который ему понятен, в котором он может максимально выразиться. На этом уроке ученик услышит разные рассуждения, мнения, увидит различные приёмы решения. Таким образом, учитель формирует личность, способную думать, отстаивать своё мнение, находить выход из создавшейся ситуации, а в перспективе – разбираться в жизни, в людях. Этот урок не оставляет равнодушным ни одного ученика.

Решение задачи разными способами помогает восполнить пробелы в ранее изученных темах, побуждает учащихся к поиску различных приёмов решения задач. Урок одной задачи помогает каждому ученику найти свою нишу для самовыражения и понимания себя и других.

 На мой взгляд, такой способ проведения урока лучше применять на последних стадиях изучения данной темы, когда у учащихся есть необходимый запас соответствующих теоритических знаний, и они знакомы с алгоритмами решения задач.

Квадратный трехчлен с параметром. Урок одной задачи

Цели урока:

-развитие исследовательских умений, навыков самостоятельной работы,

-умение анализировать, на основании экспериментальных данных делать выводы,

 -рассмотреть несколько способов решения одного и того же квадратного уравнения с параметром, научить учащихся выбирать более рациональный путь решения,

-воспитание наблюдательности, внимательности, самостоятельности, способности к коллективной работе.

Ход урока:

Учащиеся делятся на три группы: в первой будут слабые учащиеся, нуждающиеся в непосредственной помощи учителя, во второй – ученики способные, но не умеющие найти «блестящую идею», нуждающиеся в «толчке», в третьей- сильные, творческие дети (способ разделения класс на группы можно варьировать). Учитель повторяет известные матоды решения квадратных уравнений и прочих задач по данной теме, затем дает одинаковое задание группам, наставляя каждую из них на конкретный путь решения. Причем учащиеся не должны знать, что у них одинаковое задание.

1 группа: При каких значениях параметра  корни уравнения   больше 1?  (1способ решения):

Здесь , , , .

Возможны два случая.

I.Если , то уравнение приобретает вид , т.е.  и задача не имеет решений.

II.               Если , то из (3) получим систему

 

   которая  в данной задаче имеет вид

Решением этой системы является . При записи окончательного ответа следует не забыть проверить условие  .

Ответ. .

2 группа:  При каких значениях параметра  корни уравнения   больше 1?  (2 способ решения):

Сделаем замену , откуда получим . После подстановки в исходное уравнение получим уравнение . Переформулируем задачу следующим образом: найти такие , при которых корни последнего уравнения существуют и положительны. Отметим, что при выполнении замены переменной очень важно правильно переформулировать исходную задачу.

На основании теоремы Виета составим следующую систему неравенств

решение которой с учетом  дает прежний ответ.

3 группа (3 способ решения):

Этот способ решения задачи заключается в сопоставлении найденных корней квадратного уравнения с заданными числами  и . Сразу отметим, что этот способ решения задачи зачастую не самый рациональный. В нашем случае имеем

Решение можно упростить, если .  Тогда достаточно потребовать, чтобы  При  получаем систему неравенств , решая которую можно получить уже известный ответ.

Решение этой системы связано с большими трудностями, чем решение данной задачи двумя предыдущими способами. Это связано с тем, что указанная система включает в себя иррациональное неравенство. Однако в некоторых случая третий способ может быть более простым, чем два предыдущих способа. Этот случай соответствует ситуации, когда дискриминант уравнения является полным квадратом, а значит все неравенства рациональные.

 После того, как учащиеся справятся с заданиями, необходимо провести анализ всех способов решения, выбрать наиболее рациональный, сделать вывод, что к каждой задаче можно найти несколько подходов. Поставить вопрос, какими способами еще можно решить данный пример, создать ситуацию проблемы на уроке, в качестве домашнего задания дать решение этого примера графическим способом.

 

 

 

Список использованной литературы:

1.     Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения. М. 2003.

2.     Козко А. И., Гирский В. Г. Задачи с параметрами, методы их решений. М.1999.

3.     МГТУ им. Баумана. Пособие для абитуриентов. Квадратный трехчлен с параметрами и его приложения. М. 2006.

4.      Андреев В. И. Педагогика: учебный курс для творческого саморазвития. Центр инновационных технологий. Казань- 2006 .

5.      Пойа Д. Как решать задачу. — М., 1961.

6.     Фридман Л. М. Что такое математика. КомКнига. М. 2005.

7.     Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры.-Математика-1999. №5.

 

 

 
 

Опросы

Ваши любимые предметы